一个说难不难说简单不简单的概率问题

Thu, 16 Apr 2026 00:00:00 +0000

前两天上生物课的时候老师讲伴性遗传，偶然提到了我国男女比例失调的情况，统计数据如下：全国人口中，男性人口为723339956人，占51.24%；女性人口为688438768人，占48.76%。总人口性别比（以女性为100，男性对女性的比例）为105.07，与2010年第六次全国人口普查基本持平。正常而言，生男生女的概率应该是相同的，为何男性比女性多呢？这也许与我国的传统观念有关吧，出于某种原因，以前人似乎更愿意生男孩，我把这个问题抽象成了一个抛硬币的问题，问题如下：
假设有一个人抛硬币（A，B两面），抛出A面后就不再抛，否则继续
问抛出硬币中A面的占比的期望是多少？
我们可以采用通常的办法，一步步来
第一次 $$\text{抛出A的概率是} \frac{1}{2} $$ ,A的占比是1，因此对期望的贡献为 $$\frac{1}{2} \times 1=\frac{1}{2} $$ 第二次 $$\text{第一次抛出B的概率是} \frac{1}{2} $$ $$\text{抛出A的概率是} \frac{1}{2} $$ $$\text{A的占比是} \frac{1}{2} $$ $$\text{因此对期望的贡献为} \left ( \frac{1}{2} \right )^2 \times \frac{1}{2} $$ 第三次 $$\text{前两次都未抛出而第三次抛出的概率是} \left ( \frac{1}{2} \right )^3 $$ $$\text{A的占比是} \frac{1}{3} $$ $$\text{因此对期望的贡献为} \left ( \frac{1}{2} \right )^3 \times \frac{1}{3} $$ 停！
让我们回过头来审视结果 $$\text{前k-1次都未抛出而第k次抛出的概率是} \left ( \frac{1}{2} \right )^k $$ $$\text{A的占比是} \frac{1}{k} $$ $$\text{因此对期望的贡献为} \left ( \frac{1}{2} \right )^k \times \frac{1}{k} $$ 所以我们最后要算的期望是 $$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k\cdot 2^k} $$ 这并非通常的几何级数，但我们发现如果给它再乘个k就变成几何级数了
我们发现，如果考察幂级数 $$ f(x)=\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k\cdot 2^k} $$ 则 $$ f^\prime(x)=\frac{1}{2}\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{x^{k}}{2^k} $$ 这是几何级数，所以我们有 $$f^\prime(x) = \frac{1}{2-x}$$ $$f(x) = \int \frac{1}{2-x}\mathrm{d}x=-\ln|2-x|+C$$ 由$f(0)=0$我们有 $$C=\ln2$$ 而我们要算的是 $$f(1) = -\ln|2-1| + \ln2 = \bold{\ln2}$$ 所以，A面的占比的期望是 $$\boxed{\ln2\approx0.6931}$$ 跟0.5124差的不少，这是一个可喜的现象，说明重男轻女的观念在现代人中已经得到了有效破除

接下来是一些数学上的讨论

Q1：What?怎么想到的构造一个幂级数？
A1：🤔Actually，生成函数法是一个非常普遍的方法，通过把某个很难算出的值变成某一个函数在某一点的取值，可以用分析学的方法去算出这个函数，然后就可以得到级数的值了，类似的还有费曼积分法，举个经典例子 $$\int_{0}^{\infty } \frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x $$ 我们想到如果乘上个x就舒服了——变成sin x的积分了，因此构造 $$f(\alpha )=\int_{0}^{\infty } \frac{\sin x}{x}e^{\alpha x}\mathrm{d}x $$ 老办法求个导 $$f^\prime (\alpha )=\int_{0}^{\infty } \sin x e^{\alpha x}\mathrm{d}x =\frac{1}{\alpha ^2+1} $$ 很容易得到 $$f(\alpha )=\int \frac{1}{\alpha ^2+1}\mathrm{d}\alpha =\arctan \alpha +C $$ 从 $f(\alpha )=\int_{0}^{\infty } \frac{\sin x}{x}e^{\alpha x}\mathrm{d}x $ 不难发现 $$\lim_{\alpha \to -\infty} f(\alpha )=\lim_{\alpha \to -\infty}\arctan \alpha +C=-\frac{\pi}{2}+C=0 $$ 因此 $$C=\frac{\pi}{2} $$ 不要忘了我们最初想求出 $\int_{0}^{\infty } \frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=f(0) $ 因此原积分 $$\boxed{\int_{0}^{\infty } \frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2} }$$ Perfection!

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Sun, 21 Dec 2025 00:00:00 +0000

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